2-1 FUNGSI

FUNGSI LINEAR

Fungsi Linear adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b  R, a ≠ 0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linear juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi suku banyak berderajat satu dalam variable x.

CONTOH:
Diketahui fungsi linear f : x f(x) = ax + b dengan nilai f(0) = 4 dan nilai f(4) =  4.
a) Hitunglah nilai a dan b, kemudian tulislah rumus untuk fungsi f(x).
b) Tentukan titik-titik potong fungsi f dengan sumbu X maupun dengan sumbu Y.
c) Gambarlah grafik fungsi f pada bidang kartesius untuk daerah asal D1 = {x | x R}

JAWAB:
a) f(x) = ax + b
• untuk f(0) = 4, diperoleh:
(0) + b = 4
b = 4

• untuk f(4) =  4, diperoleh:
a(4) + b =  4
4a + 4 =  4
a =  2

• Rumus untuk fungsi f(x) adalah f(x) =  2x + 4
Jadi, nilai a =  2, b = 4, dan rumus untuk f(x) =  2x + 4.
b) y = f(x)  2x + 4

• titik potong dengan sumbu X diperoleh bila y = 0
 2x + 4 = 0
x = 2 (2, 0)

• titik potong dengan sumbu Y diperoleh bila x = 0
y =  2(0) + 4
y = 4 (0, 4)
Jadi, fungsi y = f(x)  2x + 4 memotong sumbu X di titik (2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4)

c) Grafik fungsi y = f(x)  2x + 4 dan x R pada bidang kartesius diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

FUNGSI KUADRAT

Perhatikan beberapa fungsi berikut ini.
f(x) = x2 – 1
f(x) = 2×2 – 6x
f(x) = x2 – 4x + 3
f(x) =  3×2 + 4x  3

Pangkat tertinggi bagi penuh peubah x pada tiap fungsi di atas sama dengan dua. Fungsi yang mempunyai ciri se[erti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x. Dengan demikian, bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0, maka fungsi yang dirumuskan oleh
f(x) = ax2 + bx + c
dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi f(x) = ax2 + bx + c dan grafik fungsi kuadrat disebut parabola.

SKETSA FUNGSI KUADRAT SECARA UMUM

Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c R, dan a ≠ 0). Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah parabola dengan persamaan f(x) = ax2 + bx + c.
Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat digambar dengan cara menentukan terlebih dulu:
i) titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
ii) titik puncak atau titik balik parabola.
iii) Persamaan sumbu simetri.

1. Titik Potong dengan Sumbu X dan Sumbu Y
a. Titik Potong dengan Sumbu X
Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika ordinat y = 0, sehingga ax2 + bx + c = 0, yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu X.
Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, yaitu D = b2  4ac, menentukan banyak titik potong dengan sumbu X.
1. jika b2  4ac > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berlainan
2. jika b2  4ac = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua titik yang berimpit
3. jika b2  4ac 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal O.
2. Jika c = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y tepat titik asal O.
3. Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik asal O.

2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri
Parabola y = ax2 + bx + c, dengan a, b, c R dan a ≠ 0, mempunyai titik puncak atau titik balik
Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas, juka a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.
Persamaan sumbu simetri parabola y = ax2 + bx + c adalah

Setelah kita memahami pengertian titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y,titik puncak atau titik balik parabola, serta persamaan sumbu simetri, kini gilirannya untuk mempelajari cara menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Langkah-langkah untuk menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum adalah sebagai berikut:

Langkah 1
Tentukan titik-titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.
Langkah 2
Tentukan titik puncak atau titik balik serta persamaan sumbu simetrinya.
Langkah 3
Gambarkan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 atau Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperhatikan apakah parabola itu terbuka ke atas atu ke bawah.

Contoh:
Gambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2
Jawab:
Grafik fungsi kuadratn f(x) = x2 – 3x + 2 adalah parabola dengan persamaan f(x) = x2 – 3x + 2 adalah parabola dengan persamaan y = x2 – 3x + 2, berarti a = 1, b =  3, dan c = 2.
1. Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y
a) titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 1)(x – 2) = 0
x1 = 1 atau x2 = 2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (1, 9) dan (2, 0).
b) titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
y = (0)2 – 3(0) + 2
= 2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).

2. Koordinat titik puncak atau titik balik.

Oleh karena a = +1 (positif), maka P merupakan titik balik minimum, dan parabola terbuka ke atas
Persamaan sumbu simetrinya adalah

3. Dari uraian di atas, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 3x + 2 dapat dilukiskan seperti pada gambar di bawah ini.

MEMBENTUK FUNGSI KUADRAT

Ciri-ciri sketsa grafik fungsi kuadrat:
1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, 0) dan B(x2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)
dengan nilai a ditentukan kemudian.
2. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di A(x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
y = f(x) = a(x – x1)2
dengan nilai a ditentukan kemudian.
3. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P(xp, yp), dan melalui sebuah titik tertentu.
Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
y = f(x) = a(x – xp) + yp
dengan nilai a ditentukan kemudian.
4. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3).
Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai:
y = f(x) = ax2 + bx + c
dengan nilai a, b, dan c ditentukan kemudian.

CONTOH:
Sebuah fungsi kuadrat memotong sumbu X di A(1, 0) dan B(2, 0). Jika fungsi kuadrat itu melului titik (0, 4), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat itu !

JAWAB:
Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai y = a(x – xp)(x – 2). Nilai a ditentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu melalui titik (0,4 ), artinya untuk x = 0 diperoleh y = 4.
4 = a(0 – 1)(0 – 2)
4 = 2a
a = 2
Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:
y = f(x)
= 2(x – 1)(x – 2)
y = f(x)
= 2×2 – 6x + 4

MERANCANG MODEL MATEMATIKA yang BERBENTUK FUNGSI KUADRAT

Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali diperoleh model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai ekstrim (maksimum atau minimum) mempunyai pearan penting dalam memecahkan masalah yang berkaiatan dengan fungsi kuadrat. Dalam kehidupan sehari-hari nilai maksimim atau nilai minimum diungkapkan dengan menggunakan kata yang berbeda-beda misalnya:
a. kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, . . .atau yang searti dengan kaata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat.
b. Kata-kata terdekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, . . . atau yang searti dengan kaata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat.

Jika dalam sebuah masalah memuat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan indicator bahwa masalah tersebut dapat dipecahkan dengan menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalah selanjutnya adalah sebagai berikut:
1. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi mematikannya.
2. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah 2.
4. Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.
CONTOH:
Jumlah panjang sisi tegak dari suatu segitiga siku-siku sama dengan 16 cm. Hitunglah luas terbesar dari segitiga itu.

JAWAB:
Dari pertanyaan “hitunglah luas terbesar dari segitiga itu” merupakan indicator bahwa masalah ini berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat. Selanjutnya dengan menggunakan langkah-langkah yang telah dibicarakan di atas, masalah tersebut diselesaikan sebagai berikut.
1. Misalkan panjang sisi tegak itu adalah x cm dan y cm, sehingga diperoleh hubungan
x + y = 16 atau y = 16 – x.
2. Jika luas sefitiga itu dilambangkan dengan L, maka L dapat dinyatakan dalam bentuk:

Model matematika yang diperoleh adalah fungsi kuadrat

3. Fungsi kuadrat
L(x) = sehingga nilai L(x) mencapai nilai maksimum.
Nilai maksimum itu adalah:

4. Jadi, luas terbesar segitiga itu adalah L = 32 cm2

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: